Un peu d'irrationnalité - Les Pythagoriciens (​entre 580 et 495 avant J.-C.) ​

Les longueurs de la diagonale et du côté d'un carré, mesurées avec la même unité, ne peuvent pas être toutes les deux des nombres entiers. Voilà ce qu'ont découvert les Pythagoriciens ! Ils ont alors parlé de nombres incommensurables.

L'école des Pythagoriciens se développe en Italie entre `580` et `495` avant J-C.

Soit \(p\) et \(q\) deux nombres. Le carré ci-dessous a un côté qui mesure \(q\) unités de longueur et une diagonale qui mesure \(p\) unités de longueur.

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(\text {ABC}\) rectangle en \(\text C\), on obtient :
\(\qquad q^2+q^2=p^2\) c'est à dire \(2q^2=p^2\)

Les Pythagoriciens ont découvert qu'il n'existait pas de couple `(p;q)` de nombres entiers naturels tels que `2q^2=p^2`.

Cette découverte a été importante pour l'évolution des mathématiques.

Dans les mathématiques modernes, on dit que `\sqrt 2` est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme \(\dfrac{p}{q}\) où \(p\in \mathbb{N}\) et \(q\in \mathbb{N}^*\).